Journées de Géométrie Algorithmique 2015 https://project.inria.fr/jga2015 Thu, 19 Nov 2015 10:32:49 +0000 fr-FR hourly 1 https://wordpress.org/?v=5.9.7 Tangent vector fields https://project.inria.fr/jga2015/tangent-vector-fields/ Wed, 13 May 2015 07:13:53 +0000 https://project.inria.fr/jga2015/?p=118 While scalar fields on surfaces have been staples of geometry processing, the use of tangent vector fields has steadily grown over the last two decades. Tangent vector fields are now a key ingredient in geometry processing, crucial to encode directions and sizing on surfaces as commonly required in …

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While scalar fields on surfaces have been staples of geometry processing, the use of tangent vector fields has steadily grown over the last two decades. Tangent vector fields are now a key ingredient in geometry processing, crucial to encode directions and sizing on surfaces as commonly required in tasks such as texture synthesis, non-photorealistic rendering, digital grooming, and meshing. There are, however, a variety of discrete representations of tangent vector fields on triangle meshes, and each approach offers a different trade-off among simplicity, efficiency, and accuracy depending on the targeted application. This course reviews the three main families of discretizations used to design computational tools for vector field processing on triangle meshes: face-based, edge-based, and vertex-based representations. In the process of reviewing the computational tools offered by these representations, we go over a large body of recent developments in vector field processing in the area of discrete differential geometry. We also discuss the theoretical and practical limitations of each type of discretization, and cover increasingly-common extensions such as n-direction and n-vector fields. While the course will focus on explaining the key approaches to practical encoding (including data structures) and manipulation (including discrete operators) of finite-dimensional vector fields, important differential geometric notions will also be covered: as often in Discrete Differential Geometry, the discrete picture will be used to illustrate deep continuous concepts such as covariant derivatives, metric connections, or Bochner Laplacians.

Link to course notes prepared for the ACM SIGGRAPH Asia 2015 conference.

Link to slides will come later.

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Géométrie riemannienne des matrices symétriques définies positives et applications https://project.inria.fr/jga2015/geometrie-riemannienne-des-matrices-symetriques-definies-positives-et-applications/ Fri, 08 May 2015 18:00:58 +0000 https://project.inria.fr/jga2015/?p=109 par Maher Moakher, professeur à l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis

Les matrices symétriques définies positives jouent un rôle fondamental dans plusieurs disciplines telles que les mathématiques, l’analyse numérique, la probabilité et statistiques, les sciences de l’ingénieur, et sciences biologiques et sociales. En raison de l’importance …

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par Maher Moakher, professeur à l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis

Les matrices symétriques définies positives jouent un rôle fondamental dans plusieurs disciplines telles que les mathématiques, l’analyse numérique, la probabilité et statistiques, les sciences de l’ingénieur, et sciences biologiques et sociales. En raison de l’importance de ces matrices, il est fondamental de se disposer d’outils de manipulation et de traitement appropriés et spécifiques pour ce type de matrices. L’ensemble de ces matrices n’est pas un espace vectoriel mais une variété différentielle qui est en occurrence un cône convexe.

Dans la première partie de ce cours je commence par présenter la géométrie riemannienne de P(n), l’espace des matrices symétriques définies positives d’ordre n.  En particulier, je donne des expressions explicites pour les différents notions de la géométrie riemannienne tels que tenseur métrique, dérivée covariante, symboles de Christoffel, courbure, et divers opérateurs différentiels. Ensuite, j’introduis des moyennes pour les matrices symétriques définies positives qui sont basées sur les différentes métriques. Les différentes notions de moyennes jouissent des propriétés d’invariance intéressantes. En particulier, l’invariance par rapport à l’inversion qui est souvent très souhaitée pour plusieurs applications pratiques.

Dans la deuxième partie du cours, je présente les différentes applications de la géométrie riemannienne des matrices symétriques définies positives en théorie d’élasticité, en imagerie par résonance magnétique du tenseur de diffusion (DT-IRM), et en d’autres domaines.

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Applications et enjeux en géométrie algorithmique issus de la discrétisation des équations aux dérivées partielles https://project.inria.fr/jga2015/geoalgo-et-edp/ Mon, 27 Apr 2015 16:24:20 +0000 https://project.inria.fr/jga2015/?p=97 par Jean-Marie Mirebeau, CR CNRS, Laboratoire CEREMADE, Université Paris-Dauphine

La discrétisation des Equations aux Dérivées Partielles (EDP) fut, historiquement, le moteur initial du développement de la Géométrie Algorithmique (GA). Aujourd’hui encore, malgré les nombreuses autres applications de la GA, les problématiques issues des EDP restent …

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par Jean-Marie Mirebeau, CR CNRS, Laboratoire CEREMADE, Université Paris-Dauphine

La discrétisation des Equations aux Dérivées Partielles (EDP) fut, historiquement, le moteur initial du développement de la Géométrie Algorithmique (GA). Aujourd’hui encore, malgré les nombreuses autres applications de la GA, les problématiques issues des EDP restent riches, variées et stimulantes. J’en présenterai certaines dans ce mini-cours, divisé en trois parties indépendantes.

  • Discrétisations adaptatives des EDP et formalisme maillage métrique.
    Les solutions des EDP sont souvent de régularité non-uniforme: des régions entières sont « vides d’activité », tandis que des phénomènes complexes et singuliers se concentrent sur des points ou des interfaces. Pour calculer efficacement ces solutions, le maillage discrétisation doit être fortement non-uniforme, et satisfaire des contraintes locales de taille, de rapport d’aspect et d’orientation, voir de forme (pas d’angles plats). Je présenterai les estimations d’erreur qui justifient à ces prescriptions de forme, et le formalisme d’équivalence maillage-métrique qui les encode.
  • Traitement de l’image et géométrie du réseau Z^d.
    Le traitement de l’image (2D ou 3D) est grand consommateur d’EDP, pour le débruitage de données, la reconstruction de zones masquées, ou encore la segmentation de régions d’intérêt. Les opérateurs de ces EDP encodent souvent une géométrie intrinsèque, anisotrope, et non-alignée avec les axes de coordonnées. Leur discrétisation requiert des outils de géométrie des réseaux, qui exploitent la struture additive de la grille de pixels.
  • Schémas numériques fondés sur les diagrammes de puissance.
    Les diagrammes de puissance, ou cellules de Laguerre, s’imposent peu à peu comme un outil fondamental en discrétisation des EDP, au même titre que les éléments finis ou la transformée de Fourier rapide. On présentera certaines de leurs applications, qui incluent le transport optimal, la mécanique des fluides, des modèles issus de l’économie, ainsi que des problèmes d’évolution grâce au formalisme de Jordan-Kinderlehrer-Otto.

Télécharger les transparents: (format pdf)

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Des molécules qui calculent https://project.inria.fr/jga2015/schabanel/ Wed, 15 Apr 2015 14:54:35 +0000 https://project.inria.fr/jga2015/?p=85 par Nicolas Schabanel, DR CNRS, LIAFA U. Paris Diderot – IXXI, ENS de Lyon

Ce cours sera une introduction à de nouveaux modèles de calcul qui sont effectivement implémentés en laboratoire dans des bechers par… des molécules. Ces calculs sont obtenus par exemple laissant des …

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par Nicolas Schabanel, DR CNRS, LIAFA U. Paris Diderot – IXXI, ENS de Lyon

Ce cours sera une introduction à de nouveaux modèles de calcul qui sont effectivement implémentés en laboratoire dans des bechers par… des molécules. Ces calculs sont obtenus par exemple laissant des molécules à base d’ADN se replier sous forme de tuiles de taille nanoscopique, puis s’assembler par affinités pour réaliser des formes géométriques arbitraires de quelques centaines de nanomètres de diamètre. Le premier modèle effectif remonte à la thèse d’Erik Winfree en 1998 qui proposa le modèle d’auto-assemblage algorithme dont il démontra qu’il peut implémenter n’importe quel calcul Turing. Les premières étapes de son modèle furent ensuite réalisées en becher à l’aide de molécules d’ADN par Paul Rothemund qui obtint en 2001 une implémentation des triangles de Sierpinski. Depuis, différentes variantes ont été proposées aussi bien du côté des modèles théoriques, que des implémentations expérimentales. Ceux-ci ont permis la réalisation de smileys, cartes, alphabets, un compteur binaire (Evans, 2014)… nanoscopiques ainsi que tout récemment les prémices d’une robotique nanoscopique à base d’ADN, donc potentiellement compatible avec la vie. Ces modèles reposent sur un mélange, entre autres, de géométrie discrète, de calculabilité, d’automates cellulaires et d’algorithmique classique et randomisée. Dans ce cours, nous présenterons une introduction à ce nouveau type de calcul qui sera… qui sait… peut-être le futur post-silicone de nos ordinateurs !

evans han rothemund wei

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