Résumé : Les résultats présentés dans cet exposé concernent certains aspects numériques récents de l’optimisation métrique. Ils ont été obtenus en collaboration avec Chiu-Yen Kao et Braxton Osting.
La première partie de l’exposé est consacrée au théorème d’encastrement isométrique de Nash pour les surfaces. Nous rappelons les résultats impressionnants obtenus par le projet HEVEA pour le torus plat (V. Borrelli, F. Lazarus, B. Thibert et al.) et illustrons comment la formulation spectrale peut conduire à une nouvelle approche intrinsèque qui n’est pas liée à la construction de Gromov.
Suite aux résultats théoriques de Fraser et Schoen, nous décrivons dans une deuxième partie une approche numérique pour approcher les surfaces minimales dans la boule, c’est-à-dire les surfaces (i) contenues dans la boule (ii) qui ont une courbure moyenne nulle et (ii) rencontrent la limite de la boule orthogonalement. Pour le genre γ = 0 et b = 2, . . . , 9, 12, 15, 20 composants de la limite, nous résolvons numériquement le problème de Steklov extrémal pour la première valeur propre. Les fonctions propres correspondantes génèrent une surface minimale à frontière libre, qui n’a pas été observée auparavant.
