Titre: Une méthode de frontière immergée basée sur la résolution d’un problème de contrôle optimal
Résumé
La résolution numérique d’équations aux dérivées partielles dans des domaines dont la géométrie est complexe, non connue a priori ou qui se déforme au cours du temps, pose en général des difficultés liées à la gestion du maillage. En effet, l’approximation de solutions de problèmes aux limites ou de problèmes de transmission demande, classiquement, la construction de maillages conformes au domaine afin d’imposer les conditions limites ou les conditions aux interfaces de manière forte. Les méthodes de frontières immergées ont été introduites afin de s’affranchir de cette limitation et de pouvoir considérer des maillages non conformes, voire structurés ou cartésiens. En contrepartie, un traitement particulier est nécessaire au niveau des frontières ou interfaces du domaine.
Nous nous intéressons à une méthode à maillage non conforme de type contrôle optimal, initialement proposée pour la résolution d’un problème de Dirichlet pour l’équation de Poisson à coefficient constant dans des géométries complexes. Dans ce contexte, le domaine de calcul est étendu à un domaine plus grand mais plus facile à mailler, comme c’est souvent le cas pour les méthodes de type domaine fictif. La principale difficulté réside alors dans la prise en compte de la condition aux limites sur la frontière qui n’est pas représentée par le maillage. La particularité de la méthode étudiée est d’introduire un terme source dans la région fictive du domaine afin d’imposer cette condition aux limites. Ce terme source, appelé « contrôle » dans la suite, est choisi de sorte à résoudre un problème des moindres carrés faisant intervenir la condition aux limites sur la frontière non représentée par le maillage.
Dans cet exposé, nous justifierons la validité de cette méthode dans le cas d’un problème de Dirichlet pour l’équation de Poisson et nous présenterons un résultat récent de convergence pour la solution du problème discrétisé par éléments finis. Nous montrerons également que cette méthode peut être étendue à des systèmes d’équations aux dérivées partielles elliptiques couplées, comme un problème d’interaction fluide-structures avec des structures rigides immergées dans un fluide de Stokes ou des problèmes de transmission elliptiques plus généraux (Poisson, Stokes, couplage Stokes-élasticité linéarisé).
