Titre : Méthodes Galerkin discontinues sur des mailles polygonales et polyédriques
Résumé : Les modèles PDE sont souvent caractérisés par des caractéristiques locales telles que des singularités/couches de solutions et des domaines aux limites compliquées. Ces particularités rendent difficile la conception de solutions numériques précises, ou exigent une quantité énorme de ressources de calcul. Une façon de réduire la complexité de la solution numérique pour ces modèles PDE est de concevoir de nouvelles méthodes numériques qui prennent en charge des maillages généraux composés d’éléments polygonaux/polyédriques, de sorte que les caractéristiques locales du modèle puissent être résolues efficacement par des choix adaptatifs de ces maillages généraux.
Dans cet exposé, nous allons d’abord passer en revue la récente version hp de la méthode des éléments finis Galerkin (dG) discontinus à pénalité intérieure symétrique pour l’approximation numérique des EDP sur des maillages généraux de calcul constitués d’éléments polygonaux/polyédriques (polytopiques) et même courbes. La caractéristique principale de la méthode dG proposée est que la stabilité et la limite d’erreur a priori de la version hp sont dérivées sur la base du choix spécifique des paramètres de pénalité intérieure, ce qui permet la dégénérescence des bords/faces. En outre, sous certaines hypothèses pratiques de maillage, il a été prouvé que la méthode dG proposée permettait d’incorporer des éléments de forme essentiellement arbitraire avec un nombre arbitraire de faces ou même des faces courbes. En raison de l’utilisation d’éléments de forme générale, la méthode dG fait preuve d’une grande souplesse dans la conception d’un algorithme adaptatif en affinant ou en rendant plus grossiers les éléments polytopiques généraux. Ensuite, nous présenterons les résultats récents d’une nouvelle analyse d’erreur a posteriori pour la méthode dG sur les éléments de forme générale. La nouvelle analyse d’erreur a posteriori généralise les résultats connus pour les méthodes hp-dG afin d’admettre un nombre arbitraire de nœuds suspendus irréguliers par élément. Enfin, une série d’expériences numériques est également présentée, mettant en évidence les bonnes performances de la méthode dG proposée.
