Titre: Quelques remarques sur la convergence de GMRES avec des normes à poids, ainsi que sur le préconditionnement et la déflation
Résumé:
GMRES est un solveur très utilisé pour les systèmes linéaires généraux. A l’itération k, il calcule une solution approchée x_k pour le système linéaire Ax = b qui minimise la norme du résidu dans un certain espace appelé sous-espace de Krylov. Il est également connu que la convergence peut être accélérée par le biais :
– d’un préconditionneur, c-a-d, en fournissant au solveur une approximation de l’inverse de A (plus facile à calculer),
– de la déflation, c-a-d, en résolvant dans un premier temps une version projetée du problème,
– de poids, c-a-d, en changeant la norme qui est minimisée à chaque itération.
Je montrerai comment la convergence de GMRES peut être analysée théoriquement. Je me concentrerai particulièrement sur des problèmes pour lesquels la partie symétrique (A+A*)/2 de la matrice A est symétrique définie positive. Les préconditionneurs considérés seront eux aussi symétriques définis positifs.