Géométrie riemannienne des matrices symétriques définies positives et applications

par Maher Moakher, professeur à l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis

Les matrices symétriques définies positives jouent un rôle fondamental dans plusieurs disciplines telles que les mathématiques, l’analyse numérique, la probabilité et statistiques, les sciences de l’ingénieur, et sciences biologiques et sociales. En raison de l’importance de ces matrices, il est fondamental de se disposer d’outils de manipulation et de traitement appropriés et spécifiques pour ce type de matrices. L’ensemble de ces matrices n’est pas un espace vectoriel mais une variété différentielle qui est en occurrence un cône convexe.

Dans la première partie de ce cours je commence par présenter la géométrie riemannienne de P(n), l’espace des matrices symétriques définies positives d’ordre n.  En particulier, je donne des expressions explicites pour les différents notions de la géométrie riemannienne tels que tenseur métrique, dérivée covariante, symboles de Christoffel, courbure, et divers opérateurs différentiels. Ensuite, j’introduis des moyennes pour les matrices symétriques définies positives qui sont basées sur les différentes métriques. Les différentes notions de moyennes jouissent des propriétés d’invariance intéressantes. En particulier, l’invariance par rapport à l’inversion qui est souvent très souhaitée pour plusieurs applications pratiques.

Dans la deuxième partie du cours, je présente les différentes applications de la géométrie riemannienne des matrices symétriques définies positives en théorie d’élasticité, en imagerie par résonance magnétique du tenseur de diffusion (DT-IRM), et en d’autres domaines.

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