Applications et enjeux en géométrie algorithmique issus de la discrétisation des équations aux dérivées partielles

par Jean-Marie Mirebeau, CR CNRS, Laboratoire CEREMADE, Université Paris-Dauphine

La discrétisation des Equations aux Dérivées Partielles (EDP) fut, historiquement, le moteur initial du développement de la Géométrie Algorithmique (GA). Aujourd’hui encore, malgré les nombreuses autres applications de la GA, les problématiques issues des EDP restent riches, variées et stimulantes. J’en présenterai certaines dans ce mini-cours, divisé en trois parties indépendantes.

  • Discrétisations adaptatives des EDP et formalisme maillage métrique.
    Les solutions des EDP sont souvent de régularité non-uniforme: des régions entières sont “vides d’activité”, tandis que des phénomènes complexes et singuliers se concentrent sur des points ou des interfaces. Pour calculer efficacement ces solutions, le maillage discrétisation doit être fortement non-uniforme, et satisfaire des contraintes locales de taille, de rapport d’aspect et d’orientation, voir de forme (pas d’angles plats). Je présenterai les estimations d’erreur qui justifient à ces prescriptions de forme, et le formalisme d’équivalence maillage-métrique qui les encode.
  • Traitement de l’image et géométrie du réseau Z^d.
    Le traitement de l’image (2D ou 3D) est grand consommateur d’EDP, pour le débruitage de données, la reconstruction de zones masquées, ou encore la segmentation de régions d’intérêt. Les opérateurs de ces EDP encodent souvent une géométrie intrinsèque, anisotrope, et non-alignée avec les axes de coordonnées. Leur discrétisation requiert des outils de géométrie des réseaux, qui exploitent la struture additive de la grille de pixels.
  • Schémas numériques fondés sur les diagrammes de puissance.
    Les diagrammes de puissance, ou cellules de Laguerre, s’imposent peu à peu comme un outil fondamental en discrétisation des EDP, au même titre que les éléments finis ou la transformée de Fourier rapide. On présentera certaines de leurs applications, qui incluent le transport optimal, la mécanique des fluides, des modèles issus de l’économie, ainsi que des problèmes d’évolution grâce au formalisme de Jordan-Kinderlehrer-Otto.

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